前缀和,差分

February 11, 2022 5410

引入

前缀和

对区间[l,r]询问sum

差分

对区间[l,r]都增加(或减少)一个数

前缀和

处理出一个前缀和数组

for(int i = 1; i <= nums; i ++)
{
    a[i] = a[i - 1] + q[i];
}

每一项代表着所有前面项的和，所以区间[l,r]的和就相当于

s[r] - s[l - 1]

差分

处理出一个差分数组

for(int i = 1; i <= nums; i ++)
{
    b[i] = a[i] - a[i - 1];
}

每一项代表着原数组这一项与前一项之差，所以区间[l,r]内增加或减少一个数只需要

b[l] += x, b[r + 1] -= x

对差分数组求前缀和变为原数组

对前缀和数组求差分变为原数组

例题：

前缀和：

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n
1≤n,m≤100000
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static int N = (int)1e5 + 10;
    static int s[] = new int[N];
    static int n,m;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int v = sc.nextInt();
            s[i] = s[i - 1] + v;
        }
        while (m -- != 0){
            int l = sc.nextInt();
            int r = sc.nextInt();

            System.out.println(s[r] - s[l - 1]);
        }

        sc.close();

    }
}

二维前缀和：

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 qq 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000
1≤q≤200000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static int N = 1010;
    static int n,m,k;
    static int s[][] = new int[N][N];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        k = sc.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                int v = sc.nextInt();

                s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + v;
            }
        }
        while (k -- != 0){
            int x1 = sc.nextInt();
            int y1 = sc.nextInt();
            int x2 = sc.nextInt();
            int y2  =sc.nextInt();

            System.out.println(s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
        }
        sc.close();
    }
}

差分：

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000
1≤l≤r≤n
−1000≤c≤1000
−1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static int N = (int)1e5 + 10;
    static int n,m;
    static int q[] = new int[N];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int v = sc.nextInt();
            add(i,i,v);
        }
        while (m -- != 0){
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();

            add(a,b,c);
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            q[i] += q[i - 1];
            System.out.print(q[i] + " ");
        }
        sc.close();
    }

    public static void add(int l,int r,int x){
        q[l] += x;
        q[r + 1] -= x;
    }
}

二维差分：

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1)和 (x2,y2） 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q

接下来n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c表示一个操作。

输出格式

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000
1≤q≤100000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤c≤1000
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static int N = 1010;
    static int n,m,k;
    static int s[][] = new int[N][N];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        k = sc.nextInt();
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                int v = sc.nextInt();
                add(i,j,i,j,v);
            }
        }
        
        while (k -- != 0){
            int x1 = sc.nextInt();
            int y1 = sc.nextInt();
            int x2 = sc.nextInt();
            int y2 = sc.nextInt();
            int v = sc.nextInt();
            add(x1,y1,x2,y2,v);
        }
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
                System.out.print(s[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
        
        sc.close();
    }

    public static void add(int x1,int y1,int x2,int y2,int c){
        s[x1][y1] += c;
        s[x2 + 1][y2 + 1] += c;
        s[x2 + 1][y1] -= c;
        s[x1][y2 + 1] -= c;
    }
}